اعداد اول و قضایا در باره ی این اعداد

اعداد اول اعدادی طبیعی هستند که بر هیچ عددی بجز خودشان و عدد ۱ بخش‌پذیر نباشند. تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمی‌گیرد. اگرعددی طبیعی وبزرگ‌تر از ۱ اول نباشد مرکب است.

عدد یکان اعداد اول بزرگ‌تر از ۱۰ فقط ممکن است اعداد ۱، ۳، ۷، ۹ باشد.

پیدا کردن ضابطه ای جبری برای اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها به دست نیاورده است.

دنبالهٔ اعداد اول به این صورت شروع می‌شود: ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹ ...

 قضیه‌ها

به این اثبات دقت کنیداز برهان خلف استفاده می کنیم:

فرض خلف : اعداد اول متناهی است.

اعداد اول را در هم ضرب می کنیم.

P1,P2,P3,...,Pn

ضرب اعداد از Pi بزرگتراست.

P_1 \times P_2 \times P_3 \times ... \times P_n > P_i

P_1 \times P_2 \times P_3 \times ... \times P_n + 1 > P_i

P_1 \times P_2 \times P_3 \times ... \times P_n + 1 = P_{i_1} ... P_{i_k}

P_1 \times P_2 \times P_3 \times ... \times P_n + 1 = P_i \times X

P_{i_1} \times ... \times P_{i_k} = P_i \times X

P_1 \times P_2 \times P_3 \times ... \times P_n +1 = Y+1

P_{i_1} \times Y + 1 = P_{i_1} \times X

P_{i_1} \times X - P_{i_1} \times Y = 1

P_{i_1}\times(X-Y) = 1

P_{i_1} = 1

که عدد ۱ جزو اعداد اول نیست پس به تناقض می رسیم و فرض خلف باطل است. اعداد اول نامتناهی هستند.

  • قضیه ۲ (قضیه اساسی حساب): هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ را می توان به شکل حاصل‌ضرب اعدادی اول نوشت.
  • قضیه ۳ (قضیه چپیشف):اگر n عددی طبیعی و بزرگ‌تر از ۳ باشد، حتما" بین n و ۲n عدد اولی وجود دارد.
  • قضیه ۴ هر عدد زوج را می‌توان بصورت جمع دو عدد اول نوشت.
  • قضیه ۵ هر عدد فرد (شامل اعداد اول) را می‌توان به صورت جمع سه عدد اول نوشت (اثبات بر پایه قضیه ۴)
  • قضیه ۶-هر عدد فرد را می‌توان به صورت دو برابر یک عدد اول بعلاوه یک عدد اول دیگر نوشت (برهان آن را بنویسد).

 خواص اعداد اول

  1. هر عدد اول برابر است با ۶n+۱ و ۶n-۱ که n یک عدد صحیح است.
  2. مجذور هر عدد اول برابر است با ۲۴n+۱.
  3. تفاضل مجذورهای دو عدد اول مضربی از ۲۴ است.
  4. حاصلضرب هر دو عدد اول بجز ۲و۳ مضربی از ۶ بعلاوه یا منهای یک است.
  5. توان چهارم هر عدد اول بجز ۲و۳ مضربی از ۲۴۰ بعلاوه یک است.

 کشف و محاسبه

بزرگ‌ترین عدد اول کشف شده برابر دو به توان ‪ ۳۲‬میلیون و ‪ ۵۸۲‬هزار و ‪ ۶۵۷‬منهای یک است.این عدد یک عدد مرسن است. عدد مرسن عددی است که برابر ۲ به توان n منهای یک است.

منبع:ویکی پدیا

+ نوشته شده در شنبه ۱۳۸۶/۰۹/۲۴ ساعت 13:54 توسط سعید  | 

مفهوم بینهایت در ریاضیات

بینهایت مفهومی است که در رشته‌های مختلف ریاضیات (با تعبیرات مختلف) به‌کار می‌رود و معمولاً به معنای «فراتر از هر مقدار» است. معمولاً نشانه بینهایت در ریاضیات \infty است.

بی نهایت از واژه لاتین finites به معنی محدود گرفته شده ( علامت \infty ) چیزی است که "محدود" نیست، که در آن هیچ محدودیت فضایی و زمانی وجود ندارد.


در آنالیز حقیقی بینهایت به معنای حدی بی‌کران است. x \rightarrow \infty یعنی متغیر x فراتر از هر مقدار در نظرگرفته شده رشد می‌کند.


در آنالیز مختلط نیز همین علامت با همین نام به‌کار می‌رود. در این رشته x \rightarrow \infty یعنی قدر متغیر مختلط x (که آن را با | x | نشان می‌دهند) بیش از هر مقدار در نظر گرفته شده رشد می‌کند.


در نظریه مجموعه‌ها مفهوم بینهایت با اعداد ترتیبی و اعداد اصلی مربوط است. عدد اصلی مجموعه اعداد طبیعی را با \aleph_0 نمایش می‌دهند و می‌خوانند «الف صفر» (از اولین حرف الفبای عبری به‌نام «الف»). این عدد «تعداد» عددهای مجموعه اعداد طبیعی را نشان می‌دهد، که «بینهایت» است. جالب است که بدانید که عدد اصلی مجموعه‌های N و Z و Q یکسان هستند ولی عدد اصلی مجموعه R برابر عددی است که آن را الف می‌‌خوانند. خوب است بدانید که الف برابر دو به توان الف صفر می‌‌باشد. بینهایت دارای دو مفهوم فیزیکی و ریاضی است که کاملاً با یکدیگر متفاوتند.


مفهوم فیزیکی بینهایت، دارای تعریف دقیقی نیست و در جای‌های مختلف دارای تعاریف متفاوت است. به عنوان مثال، می‌‌گوییم که اگر جسم در کانون عدسی محدب قرار گیرد، تصویر در بینهایت تشکیل می‌شود. حال دو عدسی با فواصل کانونی متفاوت در نظر بگیرید و اجسامی را روی کانون این دو عدسی قرار دهید. طبق قاعده، تصاویر هر دو در بینهایت تشکیل می‌شود. اما قطعا تصویر این دو دقیقا در یک نقطه تشکیل نمی‌شود؛ یعنی بینهایت برای این دو عدسی متفاوت است.


به عنوان مثالی دیگر، دو منبع گرمایی، مثلاً دو اتو با درجه حرارتهای متفاوت را در نظر بگیرید. فاصله‌ای که در آن، دیگر اصلاً گرمای اتو را احساس نکنیم، برای این دو اتو متفاوت است، به عبارت دیگر، بینهایت برای این دو اتو تفاوت دارد.


اما مفهوم بینهایت، در ریاضیات کاملاً متفاوت با بینهایت فیزیکی است. علامت بینهایت در ریاضیات، است. در ریاضیات می‌‌گوییم: «بینهایت مقداری است که از هر مقدار دیگر بیشتر است.» به عنوان مثال، بینهایت را در اعداد طبیعی در نظر می‌‌گیریم و می‌‌گوییم: بینهایت از ۱، ۱۰، ۱۰۰، ۱۰۰۰۰۰۰۰۰۰۰ و هر عدد دیگر که در نظر بگیرید، بزرگ‌تر است.


این مفهوم، دقیقا همان مفهومی است که در «حد در بینهایت» در نظر گرفته می‌شود. به عنوان مثال، در تابع، وقتی می‌گوییم، یعنی این که x از هر عدد انتخاب شده بزرگ‌تر است.


یکی از مهم‌ترین مباحثی که بینهایت درآن دارای کاربرد است، نظریه مجموعه هاست. به عنوان مثال می‌‌دانیم که تعداد اعضای مجموعه اعداد حقیقی و مجموعه اعداد صحیح و طبیعی و ... بینهایت است. (تعداد اعضای هر مجموعه را عدد اصلی می‌نامند) در ریاضیات پیشرفته ثابت می‌شود که عدد اصلی مجموعه اعداد حقیقی و صحیح با یکدیگر برابر نیست.

 اصل موضوع اقلیدس

اصل موضوع اقلیدس: هر کل از هر جزء خود اکیدا بزرگ‌تر است.

این اصل یک حقیقت بدیهی به نظر می‌رسد و در فلسفه نیز از آن استفاده می‌شود. این اصل ادعا می‌کند که اگر قسمتی از یک شئ را حذف کنیم، آن‌چه باقی می‌ماند از شئ اولیه اکیدا کوچک‌تر است.

اگرچه در دنیای طبیعی این اصل درست است، اما پس از ظهور مفهوم مجموعه مثال‌های نقضی برای آن پیدا شد. مثلا واضح است که تعداد اعداد طبیعی با تعداد اعداد زوج طبیعی برابر است (کافی است هر عدد طبیعی را با دو برابرش متناظر کنیم)، در حالی که اعداد زوج طبیعی، جزءی از همه اعداد طبیعی هستند.

 بینهایت از نگاه ددکیند

اشتباه بودن اصل موضوع اقلیدس در زمینه ریاضیات مورد بحث بود، تا این که ریچارد ددکیند تعریفی از مفهوم بینهایت ارائه داد. ددکیند هر چیزی را که اصل موضوع اقلیدس برای آن صادق نباشد، بینهایت نامید. پس طبق تعریف ددکیند، بینهایت هر چیزی است که با جزئی از خود هم‌اندازه باشد.

این، شاید اولین تعریف از بینهایت در زمینه نظریه مجموعه باشد. ددکیند مجموعه‌ای را که بینهایت عضو داشته باشد، نامتناهی نامید. پس طبق این تعریف، یک مجموعه را نامتناهی گوییم هرگاه با یک زیرمجموعه سره از خودش هم‌اندازه باشد. مجموعه متناهی، مجموعه‌ایست که نامتناهی نباشد.

بینهایت از نگاه کانتور

در اواخر قرن نوزده، جرج کانتور به‌طور رسمی نظریه مجموعه را ارائه داد. براساس نظریه کانتور، مجموعه A را k عضوی گوییم (k\in \mathbb{N}) هرگاه یک تناظر یک به یک بین A و مجموعه \{1,2,\cdots, k\} وجود داشته باشد. مجموعه متناهی مجموعه‌ایست که یا تهی باشد و یا (به ازای یک k\in \mathbb{N}،) k عضوی باشد. و بالاخره مجموعه نامتناهی مجموعه‌ایست که متناهی نباشد.

به عبارت دیگر، طبق تعریف کانتور، بینهایت هر چیزی است که نتوان آن را شمرد.

نکته قابل توجه این است که تعریف‌های ددکیند و کانتور از مفهوم بینهایت با هم معادل‌اند؛ به عبارت دیگر، می‌توان نشان داد که یک مجموعه نامتناهی است اگر و تنها اگر با یک زیرمجمموعه سره از خودش هم‌اندازه باشد.

منبع:ویکی پدیا

+ نوشته شده در دوشنبه ۱۳۸۶/۰۹/۱۹ ساعت 17:26 توسط سعید  | 

اصل فرما در ریاضیات

 اصل فرما بیان میکند که:

برای هر عدد صحیح n>2 معادله ی an + bn = cn فاقد جواب صحیح مثبت است.

فرما ادعا کرده بود که روشی شگفت انگیز برای اثبات این مطلب یافته است، اما حاشیه کتاب باریکتر از آن است که آن را در خود جای دهد!

هر حدس یا قضیه ی دیگری که فرما به این روش اعلام کرده بود تا سال 1847 اثبات شد، مگر آخرین آنها که همین قضیه باشد.اکنون که بیش از سه قرن از درگذشت فرما می گذرد، کارهای او در غیر از نظریه اعداد، اهمیت خود را در ذهن افراد از دست داده است. البته دلیل این مطلب آن است که کارهای وی قدمهای اولیه ی اساسی در توسه ی نظریات مهمی بوده که امروزه کاملا فهمیده شده اند و به راحتی با زبان نمادین ریاضی –که در زمان فرما موجود نبوده- قابل بیانند. علاقه عمیق فرما به نظریه اعداد از گفته ی وی که مطالعه خواص اعداد صحیح مثبت، بزرگترین عرصه قدرت نمایی استدلال ریاضی محض و بزرگترین گنجینه حقایق ریاضی محض است پیداست.

+ نوشته شده در دوشنبه ۱۳۸۶/۰۹/۱۹ ساعت 17:12 توسط سعید  | 

مفهوم حد(یا همان limit)در ریاضیات

حد

حد در ریاضیات مفهومی است برای بیان رفتار تابع در نزدیکی یک نقطه هنگامی که متغیر تابع به آن نقطه میل می‌کند.

تعریف

عبارت:

\lim_{x \to c}f(x) = L

به این معنی است که، برای هر \varepsilon\ >0 یک \delta\ >0 وجود دارد، که برای هر x با خاصیت |x-c|< \delta\ ، آنگاه داریم: |f (x)-L|< \varepsilon.

 حد تابع

فرض کنید f(x)‎ تابعی حقیقی و c عددی حقیقی باشد. عبارت

\lim_{x \to c}f(x) = L

بدین معناست که f(x)‎ به ازای xهای نزدیک به c به L میل می‌کند. توجه داشته باشید که این عبارت می‌تواند صحیح باشد حتی اگر f(c) \neq L باشد. دو مثال زیر مساله را روشن‌تر بیان می‌کند. f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} است و به x مقدار ۲ را می‌دهیم. در این مثال x در ۲ تعریف شده و مقدار تابع در آن برابر حدش ۰٫۴ است:

f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2) f(2.001) f(2.01) f(2.1)
0.4121 0.4012 0.4001 \Rightarrow 0.4 \Leftarrow 0.3998 0.3988 0.3882

اگر به x مقدار ۲ را بدهیم f(x)‎ برابر ۰٫۴ خواهد شد و داریم \lim_{x\to 2}f(x)=0.4. در این مثال f(c) = \lim_{x\to c} f(x) است اما این عبارت همواره صحیح نیست، برای مثال:

g(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x^2+1}, & \mbox{if }x\ne 2 \\ \\ 0, & \mbox{if }x=2. \end{matrix}\right.

حد g(x)‎ به ازای x برابر ۲ مساوی ۰٫۴ می‌باشد اما \lim_{x\to 2}g(x)\neq g(2) و g در ۲ پیوسته نیست.

در مثالی دیگر فرش می کنیم که تابع در x = c تعریف نشده باشد:

f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}

اگر به x مقدار ۲ را بدهیم تابع تعریف نشده اما حد آن برابر ۲ است:

f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1)
1.95 1.99 1.999 \Rightarrow تعریف نشده \Leftarrow 2.001 2.010 2.10
+ نوشته شده در دوشنبه ۱۳۸۶/۰۹/۱۹ ساعت 17:3 توسط سعید  | 

توابع در ریاضیات

معرفي تابع

مفهوم تابع يكي از مهمترين و اساسي ترين مفاهيم رياضي است به طوري كه رياضيات بدون آن تقريباً هيچ است! در شاخه هاي مختلف رياضيات براي معرفي تابع و تعريف و بيان مفهوم آن ، شيوه هاي مختلفي به كار مي رود كه البته همگي يك معني واحد مي دهند و فقط نوع گفتار و ابزار بيان آن ها با هم فرق مي كند

 

 

پس اگر مجموعه اي به شما داده شد و از شما خواسته شد تا تعيين كنيد كه آيا آن مجموعه نمايانگر يك تابع است يا خير ،  بايد دقت كنيد كه براي تابع بودن آن مجموعه ، نبايد هيچ دو زوج مرتب متمايز آن  داراي مولفه هاي اول يكسان باشند ولي اگر يكسان بودند حتماً بايد مولفه هاي دوم آن زوج هاي مرتب نيز با هم مساوي و براير باشند .

به عبارت ديگر اگر در آن مجموعه ،  دو زوج مرتب يافتيد كه مولفه ي اول يكسان و مولفه هاي دوم نابرابر داشتند آن مجموعه تابع نخواهد بود و فقط نمايانگر يك رابطه است .  

 

 

 

 

 

از آن جا كه در تابع نبايد هيچ دو زوج مرتب با مولفه ي اول مساوي  و مولفه ي دوم نامساوي يافت شود پس رابطه ي بالا يك تابع نيست .

اما اين مورد دليلي براي تابع نبودن رابطه ي بالا نيست زيرا مولفه هاي دوم اين دو زوج مرتب نيز با هم برابر هستند و در اصل تكرار عضو در مجموعه رخ داده كه بي اثر است .

 

 

 

 

 

 

  

مفهوم تابع :

 

 

 

 

براي فهم راحت تر ، تابع را مانند يك كامپيوتر در نظر بگيريد كه يك سري اطلاعات خام ( ورودي) وارد آن مي شود و كامپيوتر با برنامه ي خاصي كه براي آن نوشته شده و تعيين گرديده ، اعمالي را روي ورودي ها انجام مي دهد (آن ها را  پردازش مي كند )  و نتايج حاصل از انجام اعمال را به عنوان خروجي به ما تحويل مي دهد .

 

باز هم ساده تر :  اگر تابع را به شكل يك چرخ گوشت در نظر بگيريد ، ورودي ها يا همان x ها ، تكه هاي گوشت هستند كه از يك دريچه وارد ماشين  ( چرخ گوشت )  مي شوند و ضابطه ي تعيين شده براي تابع چرخ گوشت ، همان انجام اعمال چرخ كردن مي باشد ، سپس گوشت چرخ كرده كه همان خروجي يا y است از دريچه ي ديگر چرخ گوشت بيرون مي آيد . 

همانطور كه مي بينيد وجود y   ( خروجي يا همان گوشت چرخ كرده ) به وجود x ( ورودي يا همان تكه هاي گوشت ) وابسته است ولي عكس آن برقرار نيست !  به همين دليل است كه x را متغير مستقل و y را متغير وابسته گويند .

 همانگونه که می دانید در چرخ گوشت  باید گوشت ریخت و نمی توان داخل آن سنگ ، چوب  و... ریخت به عبارتی تنها عناصر خاصی هستند که چرخ گوشت قادر به پذیرش و انجام عملیات چرخ کردن بروی آنهاست – ضابطه ی یک تابع دامنه ی پذیرش خاصی دارد

 

 یعنی هر چیزی را نمی توان به عنوان "ورودی" در تابع ریخت، به مجموعه ی همه ی آن عناصری که می توان آن ها را وارد تابع کرد ( یا به عبارتی مجموعه ی همه ی ورودی های مجاز ) تا خروجی مجاز و معقول و مطلوب به دست آید اصطلاحا "دامنه ی تابع" گویند .

 

 

تا این جا فهمیدیم که ...

 

نمایش مفهوم تابع به صورت های مختلفی امکان پذیر است که این صورت های مختلف

 معنی واحدی دارند .

در ابتدا تابع را به صورت مجموعه ای از زوج های مرتب معرفی کردیم که در آن هیچ دو زوج مرتب با مولفه های اول برابر و مولفه های دوم نابرابر وجود ندارد .) همانطور که قبلا گفته شد این شیوه ی نمایش تابع جنبه ای بسیار محض دارد که ممکن است تعمیم مفهوم آن برای جنبه های مختلف ریاضیات دشوار  باشد لذا از مفهومی معادل استفاده کردیم و تابع را به عنوان یک ماشین معرفی شد که مقادیری معین به عنوان ورودی وارد آن می شوند و سرانجام با اعمال شدن قانون (ضابطه) بروی آن ( انجام پردازش ) خروجی ها بدست می آیند ...

 

مفهوم دامنه و برد تابع

 

دامنه تعریف تابع  ( که به اختصار به آن دامنه ی تابع یا فقط دامنه می گویند ) را می توان به طور خلاصه به صورت زیر معرفی و تعریف نمود :

"مجموعه ی همه ی x های ورودی که به ازای آن هامقدار تابع یعنی y تعریف شده باشد."

 

برد تابع نیز مجموعه ی همه ی y ها ( یا خروجی هایی) است که به ازای مقادیر دامنه بدست آمده اند .

 

ذکر یک نکته ی مهم  :

 

 

امیدوارم که تا این جا با مفهوم کلی تابع و همچنین تعاریف دامنه و برد آشنا شده و مفاهیم آن ها را درک کرده باشید -  در ادامه ی مباحث تابع به سراغ روش های تعیین دامنه و برد توابع خواهیم رفت که از نظر کاربرد بسیار مهم و اساسی می باشد .

در بخش های بعدی خواهیم فهمید که تابع ها انواع دارند و برای تعیین دامنه و برد هر یک از آن ها شیوه های متفاوتی موجود است

 

  

روش های عملی برای مشخص کردن دامنه و برد توابع حقیقی

 

 

 

توضیح بیشتر برای حل مثال فوق :

 

اگر بخواهیم آن چه را که به عنوان ضابطه برای تابع بالا نوشتیم توصیف و تشریح کنیم باید این چنین بگوییم :

مقدار تابع (یعنی همان y یا f(x) ) به ازای اعداد ورودی طبیعی کوچکتر یا مساوی با 6 از طریق رابطه ی 2x-1 بدست می آید به عنوان مثال اگر ورودی x=2 را در نظر بگیرید از طریق همین رابطه می توان نوشت : 2(2)-1=3 همانطور که مشاهده می کنید مقدار خروجی 3 را تحویل ما داد که دقیقاً مطابق تابع داده شده در صورت مسئله است .

مقدار 1 برای تابع تنها توسط عدد وردی 7 بدست می آید و برای اعداد طبیعی که در بازه ی بسته ی 8 تا 11 قرار دارند مقدار تابع از طریق رابطه ی x-1 بدست می آید که به راحتی می توانید با قرار دادن یک مقدار ورودی در  بازه ی مذکور ، صحت رابطه ی فوق را برای بدست آوردن خروجی های این بخش تست کنید .

 

 

 

 

تفسیر :

یعنی به ازای مقادیر حقیقی مثبت ، دستگاه به عنوان خروجی عدد 1 را به ما می دهد .

به ازای ورودی صفر ، دستگاه خود عدد صفر را به عنوان خروجی تحویل ما می دهد .

و به ازای ورودی های حقیقی منفی به دستگاه عدد   1-  به عنوان خروجی از دستگاه خارج می شود .

 

و اما نمودار تابع :

 

 

در ادامه برای آن که تعیین دامنه و برد توابع آسانتر انجام گیرد آن ها را به ده دسته ی اساسی تقسیم کرده و روش ها و تکنیک های تعیین دامنه و برد هر دسته را با ذکر چند مثال نشان می دهیم .

 

1-     تعیین دامنه و برد توابع چند جمله ای

2-     تعیین دامنه و برد توابع کسری ( غیر اصم )

3-     تعیین دامنه و برد توابع اصم ( گنگ )

4-     تعیین دامنه و برد توابع شامل جزء صحیح

5-     تعیین دامنه و برد توابع شامل قدر مطلق

6-     تعیین دامنه و برد توابع نمایی

7-     تعیین دامنه و برد توابع لگاریتمی

8-     تعیین دامنه و برد توابع مثلثاتی

9-     تعیین دامنه و برد توابع معکوس ( وارون )

10- تعیین دامنه و برد توابع مرکب

 

و پس از بررسی موارد فوق خواهیم آموخت تا برد برخی توابع را توسط برخی نامساوی ها تعیین کنیم و سرانجام خواهیم آموخت که تعیین برد توابع از طریق " مشتق " امکان پذیر است و می توان یکنوایی و ماکزیمم و می نیمم را در توابع بررسی نمود .

بررسی و آموزش هر یک از موارد فوق به مرور انجام خواهد گرفت که البته در بسیاری از موارد قبل از شروع مستقیم آموزش نیاز به پیش نیازهایی برای تسلط به آن بخش است که طبق نیاز ارائه خواهد شد به طور مثال پیش از آن که به تعیین دامنه و برد انواع توابع مذکور در بالا بپردازیم می بایست با خود این توابع آشنا شویم و خواص هر یک از آن ها را بررسی کنیم .

منبع :انجمن ریاضی

+ نوشته شده در یکشنبه ۱۳۸۶/۰۹/۱۸ ساعت 18:44 توسط سعید  | 

با عدد 9 شگفتی بیافرینید

با يک رابطه رياضي همه را به حيرت در آوريم .


به يکي از دوستانمان مي گوييم :


عددي دلخواه در نظر بگيرد ( مثلا عدد 34127 )


ارقام اين عدد را به هم ريخته و عدد ديگري با آن بسازد ( 24173 )


حال اين دو عدد را از هم کم کند ( 9954 = 24173 - 34127 )


حال يک رقم از جواب را حذف کرده و بقيه جواب را به ما بگويد ( مثلا فرض کنيد از جواب يعني عدد 9954 رقم 5 را حذف نمايد و بقيه ارقام يعني 995 را به ما بگويد )


حال با يک حساب سرانگشتي بسيار ساده عدد حذف شده را دقيقا پيدا مي کنيم .


طرز پيدا کردن رقم حذف شده :


جمع ارقام جواب يعني 9954 حتما بايد مضربي از 9 باشد پس جمع ارقام عددي که دوستمان به ما گفته را بدست مي آوريم . ( عدد 995 بوده که جمع ارقامش 23 مي شود)


حالا نزديکترين مضرب 9 که به 23 نزديک است ( يعني 27 ) را از 23 کم کرده تا 4 بدست آيد عدد 4 رقم حذف شده مي باشد.


+ نوشته شده در دوشنبه ۱۳۸۶/۰۸/۲۱ ساعت 20:8 توسط سعید  | 

یک کاغذ را چند بار می توان تا کرد؟

شايد تا کنون شده باشد که در مواقعي که بيکار هستيد يا اينکه انتظار خبر مهمي را مي کشيد براي سرگرم کردن خودتان کاغذي را که در اطرافتان هست برداريد و شروع به تا کردن آن کنيد و بعد از چند بار متوجه شويد که ديگر نمي شود کاغذ را تا کرد. در اين صورت يا از تا کردن کاغذ منصرف مي شويد يا آن را باز مي کنيد و دوباره شروع به تا کردنش مي کنيد... البته ممکن است قبل از اينکه به آن زمان برسيد خبر مهم به شما داده شود و کاغذ را به جاي اولش برگردانيد !!!

اين مسئله را همه ما تجربه کرده ايم اما شايد هيچ کدام از ما به طور جدي روي آن فکر نکرده باشيم.

اگر ورق را هر بار طوري تا کنيد که اندازه آن نصف شود بيش از 7 يا 8 بار نمي توانيد آن را تا کنيد. مهم نيست ورق اوليه شما چقدر بزرگ باشد. شايد تا به حال اين قضيه را شنيده باشيد و سعي کرده باشيد که آن را امتحان کنيد و متوجه شده باشيد که تا کردن کاغذ بيش از7 يا 8 بار بسيار سخت است. آيا مي توان گفت که اين اعداد يک محدوديت مستدل و عمومي براي تا کردن کاغذ هستند؟

فرض کنيد شما کاغذي را انتخاب کرده ايد که داراي پهناي w و ضخامت t است . اگر شما شروع به تا کردن ورق از يک سمت بکنيد وقتي به جايي برسيد که ديگر نتوانيد کاغذ را تا کنيد يک نوار باريک خواهيد داشت.
با هر تا کردني ضخامت کاغذ دو برابر مي شود و پهناي آن نصف خواهد شد. يعني بعد از N بار تا کردن ضخامت خواهد بود و البته مشخص است که پهنا مي شود و نسبت ضخامت به پهنا برابر مي شود.
اگر با کاغذي به پهناي 11cm و ضخامت 0.002cm اين کار را انجام دهيد بعد از 7 بار تا کردن نسبتt/w برابر 1/6 مي شود. اين بدان معنيست که اندازه ضخامت از پهنا بيشتر مي شود و در نتيجه ديگر قادر به تا کردن کاغذ نخواهيد بود. اگر این کاغذ را 50 بار بزرگتر کنید شاید بتوانید آن را تا 10 بار هم تا کنید.

اگر به صورت متناوب کاغذ را از عرض و طول تا کنید ممکن است تعداد دفعات بیشتری بتوانید به تا کردن کاغذ ادامه دهید. در این صورت هر بارضخامت دو برابر می شود در صورتی که پهنا هر دو دفعه یک بار نصف می شود.

چندین سال پیش هنگامی که بریتنی گالیوان در دبیرستان درس می خواند با این مسئله رو به رو شد که چگونه کاغذی زا 12 بار تا کند . او باید برای گرفتن نمره از یکی از کلاسهایش این مسئله را حل می کرد. بعد از آزمایش راه های مختلف او موفق شد که ورقه نازکی از طلا را 12 بار تا کند. اما مسئله طرح شده در باره کاغذ بود و نه طلا.

گالیوان بر روی معادله تعداد دفعاتی که می توان یک کاغذ با اندازه معین را تا کرد کار کرد.



که در آن L کمترین درازای کاغذ، t میزان ضخامت کاغذ و n تعداد دفعاتی است که می توان کاغذ را تا کرد. واحد t و L باید یکسان باشد.

برای یک طول و ضخامت معین عبارت بیانگر آن است که صفحه بعد از n بار تاکردن چند برابر کوچک شده است. با n=0 شروع می کنیم و به همین ترتیب به رشته ای از اعداد به این صورت می رسیم:

0, 1, 4, 14, 50, 186, 714, 2794, 11050, 43946, 175274, 700074, 2798250, . . .

این به این معنی است که در تای دوازدهم 2798250 برابر مقدار کاغذی که در تای اول از دست می رود از دست خواهد رفت.

گالیوان در کتابی با نام Historical Society of Pomona Valley چگونگی به دست آوردن این معادله و تلاشش برای حل مشکل را توضیح داده است. بالاخره در June 2002 گالیوان یک کاغذ بزرگ را 12 بار تا کرد.
+ نوشته شده در دوشنبه ۱۳۸۶/۰۸/۲۱ ساعت 20:7 توسط سعید  |