اعداد اول اعدادی طبیعی هستند که بر هیچ عددی بجز خودشان و عدد ۱ بخش‌پذیر نباشند. تنها استثنا عدد ۱ است که جزو این اعداد قرار نمی‌گیرد. اگرعددی طبیعی وبزرگ‌تر از ۱ اول نباشد مرکب است.

عدد یکان اعداد اول بزرگ‌تر از ۱۰ فقط ممکن است اعداد ۱، ۳، ۷، ۹ باشد.

پیدا کردن ضابطه ای جبری برای اعداد اول جزو یکی از معماهای ریاضی باقیمانده است و هنوز کسی به فرمولی برای آنها به دست نیاورده است.

دنبالهٔ اعداد اول به این صورت شروع می‌شود: ۲، ۳، ۵، ۷، ۱۱، ۱۳، ۱۷، ۱۹ ...

 قضیه‌ها

به این اثبات دقت کنیداز برهان خلف استفاده می کنیم:

فرض خلف : اعداد اول متناهی است.

اعداد اول را در هم ضرب می کنیم.

P1,P2,P3,...,Pn

ضرب اعداد از Pi بزرگتراست.

P_1 \times P_2 \times P_3 \times ... \times P_n > P_i

P_1 \times P_2 \times P_3 \times ... \times P_n + 1 > P_i

P_1 \times P_2 \times P_3 \times ... \times P_n + 1 = P_{i_1} ... P_{i_k}

P_1 \times P_2 \times P_3 \times ... \times P_n + 1 = P_i \times X

P_{i_1} \times ... \times P_{i_k} = P_i \times X

P_1 \times P_2 \times P_3 \times ... \times P_n +1 = Y+1

P_{i_1} \times Y + 1 = P_{i_1} \times X

P_{i_1} \times X - P_{i_1} \times Y = 1

P_{i_1}\times(X-Y) = 1

P_{i_1} = 1

که عدد ۱ جزو اعداد اول نیست پس به تناقض می رسیم و فرض خلف باطل است. اعداد اول نامتناهی هستند.

  • قضیه ۲ (قضیه اساسی حساب): هر عدد طبیعی بزرگ‌تر از ۱ را می توان به شکل حاصل‌ضرب اعدادی اول نوشت.
  • قضیه ۳ (قضیه چپیشف):اگر n عددی طبیعی و بزرگ‌تر از ۳ باشد، حتما" بین n و ۲n عدد اولی وجود دارد.
  • قضیه ۴ هر عدد زوج را می‌توان بصورت جمع دو عدد اول نوشت.
  • قضیه ۵ هر عدد فرد (شامل اعداد اول) را می‌توان به صورت جمع سه عدد اول نوشت (اثبات بر پایه قضیه ۴)
  • قضیه ۶-هر عدد فرد را می‌توان به صورت دو برابر یک عدد اول بعلاوه یک عدد اول دیگر نوشت (برهان آن را بنویسد).

 خواص اعداد اول

  1. هر عدد اول برابر است با ۶n+۱ و ۶n-۱ که n یک عدد صحیح است.
  2. مجذور هر عدد اول برابر است با ۲۴n+۱.
  3. تفاضل مجذورهای دو عدد اول مضربی از ۲۴ است.
  4. حاصلضرب هر دو عدد اول بجز ۲و۳ مضربی از ۶ بعلاوه یا منهای یک است.
  5. توان چهارم هر عدد اول بجز ۲و۳ مضربی از ۲۴۰ بعلاوه یک است.

 کشف و محاسبه

بزرگ‌ترین عدد اول کشف شده برابر دو به توان ‪ ۳۲‬میلیون و ‪ ۵۸۲‬هزار و ‪ ۶۵۷‬منهای یک است.این عدد یک عدد مرسن است. عدد مرسن عددی است که برابر ۲ به توان n منهای یک است.

منبع:ویکی پدیا