توابع در ریاضیات
مفهوم تابع يكي از مهمترين و اساسي ترين مفاهيم رياضي است به طوري كه رياضيات بدون آن تقريباً هيچ است! در شاخه هاي مختلف رياضيات براي معرفي تابع و تعريف و بيان مفهوم آن ، شيوه هاي مختلفي به كار مي رود كه البته همگي يك معني واحد مي دهند و فقط نوع گفتار و ابزار بيان آن ها با هم فرق مي كند
پس اگر مجموعه اي به شما داده شد و از شما خواسته شد تا تعيين كنيد كه آيا آن مجموعه نمايانگر يك تابع است يا خير ، بايد دقت كنيد كه براي تابع بودن آن مجموعه ، نبايد هيچ دو زوج مرتب متمايز آن داراي مولفه هاي اول يكسان باشند ولي اگر يكسان بودند حتماً بايد مولفه هاي دوم آن زوج هاي مرتب نيز با هم مساوي و براير باشند . به عبارت ديگر اگر در آن مجموعه ، دو زوج مرتب يافتيد كه مولفه ي اول يكسان و مولفه هاي دوم نابرابر داشتند آن مجموعه تابع نخواهد بود و فقط نمايانگر يك رابطه است . از آن جا كه در تابع نبايد هيچ دو زوج مرتب با مولفه ي اول مساوي و مولفه ي دوم نامساوي يافت شود پس رابطه ي بالا يك تابع نيست . اما اين مورد دليلي براي تابع نبودن رابطه ي بالا نيست زيرا مولفه هاي دوم اين دو زوج مرتب نيز با هم برابر هستند و در اصل تكرار عضو در مجموعه رخ داده كه بي اثر است .
مفهوم تابع : براي فهم راحت تر ، تابع را مانند يك كامپيوتر در نظر بگيريد كه يك سري اطلاعات خام ( ورودي) وارد آن مي شود و كامپيوتر با برنامه ي خاصي كه براي آن نوشته شده و تعيين گرديده ، اعمالي را روي ورودي ها انجام مي دهد (آن ها را پردازش مي كند ) و نتايج حاصل از انجام اعمال را به عنوان خروجي به ما تحويل مي دهد . باز هم ساده تر : اگر تابع را به شكل يك چرخ گوشت در نظر بگيريد ، ورودي ها يا همان x ها ، تكه هاي گوشت هستند كه از يك دريچه وارد ماشين ( چرخ گوشت ) مي شوند و ضابطه ي تعيين شده براي تابع چرخ گوشت ، همان انجام اعمال چرخ كردن مي باشد ، سپس گوشت چرخ كرده كه همان خروجي يا y است از دريچه ي ديگر چرخ گوشت بيرون مي آيد . همانطور كه مي بينيد وجود y ( خروجي يا همان گوشت چرخ كرده ) به وجود x ( ورودي يا همان تكه هاي گوشت ) وابسته است ولي عكس آن برقرار نيست ! به همين دليل است كه x را متغير مستقل و y را متغير وابسته گويند . همانگونه که می دانید در چرخ گوشت باید گوشت ریخت و نمی توان داخل آن سنگ ، چوب و... ریخت به عبارتی تنها عناصر خاصی هستند که چرخ گوشت قادر به پذیرش و انجام عملیات چرخ کردن بروی آنهاست – ضابطه ی یک تابع دامنه ی پذیرش خاصی دارد یعنی هر چیزی را نمی توان به عنوان "ورودی" در تابع ریخت، به مجموعه ی همه ی آن عناصری که می توان آن ها را وارد تابع کرد ( یا به عبارتی مجموعه ی همه ی ورودی های مجاز ) تا خروجی مجاز و معقول و مطلوب به دست آید اصطلاحا "دامنه ی تابع" گویند . تا این جا فهمیدیم که ... نمایش مفهوم تابع به صورت های مختلفی امکان پذیر است که این صورت های مختلف معنی واحدی دارند . در ابتدا تابع را به صورت مجموعه ای از زوج های مرتب معرفی کردیم که در آن هیچ دو زوج مرتب با مولفه های اول برابر و مولفه های دوم نابرابر وجود ندارد .) همانطور که قبلا گفته شد این شیوه ی نمایش تابع جنبه ای بسیار محض دارد که ممکن است تعمیم مفهوم آن برای جنبه های مختلف ریاضیات دشوار باشد لذا از مفهومی معادل استفاده کردیم و تابع را به عنوان یک ماشین معرفی شد که مقادیری معین به عنوان ورودی وارد آن می شوند و سرانجام با اعمال شدن قانون (ضابطه) بروی آن ( انجام پردازش ) خروجی ها بدست می آیند ...
مفهوم دامنه و برد تابع دامنه تعریف تابع ( که به اختصار به آن دامنه ی تابع یا فقط دامنه می گویند ) را می توان به طور خلاصه به صورت زیر معرفی و تعریف نمود : "مجموعه ی همه ی x های ورودی که به ازای آن هامقدار تابع یعنی y تعریف شده باشد." برد تابع نیز مجموعه ی همه ی y ها ( یا خروجی هایی) است که به ازای مقادیر دامنه بدست آمده اند . ذکر یک نکته ی مهم : امیدوارم که تا این جا با مفهوم کلی تابع و همچنین تعاریف دامنه و برد آشنا شده و مفاهیم آن ها را درک کرده باشید - در ادامه ی مباحث تابع به سراغ روش های تعیین دامنه و برد توابع خواهیم رفت که از نظر کاربرد بسیار مهم و اساسی می باشد . در بخش های بعدی خواهیم فهمید که تابع ها انواع دارند و برای تعیین دامنه و برد هر یک از آن ها شیوه های متفاوتی موجود است
روش های عملی برای مشخص کردن دامنه و برد توابع حقیقی توضیح بیشتر برای حل مثال فوق : اگر بخواهیم آن چه را که به عنوان ضابطه برای تابع بالا نوشتیم توصیف و تشریح کنیم باید این چنین بگوییم : مقدار تابع (یعنی همان y یا f(x) ) به ازای اعداد ورودی طبیعی کوچکتر یا مساوی با 6 از طریق رابطه ی 2x-1 بدست می آید به عنوان مثال اگر ورودی x=2 را در نظر بگیرید از طریق همین رابطه می توان نوشت : 2(2)-1=3 همانطور که مشاهده می کنید مقدار خروجی 3 را تحویل ما داد که دقیقاً مطابق تابع داده شده در صورت مسئله است . مقدار 1 برای تابع تنها توسط عدد وردی 7 بدست می آید و برای اعداد طبیعی که در بازه ی بسته ی 8 تا 11 قرار دارند مقدار تابع از طریق رابطه ی x-1 بدست می آید که به راحتی می توانید با قرار دادن یک مقدار ورودی در بازه ی مذکور ، صحت رابطه ی فوق را برای بدست آوردن خروجی های این بخش تست کنید .
تفسیر : یعنی به ازای مقادیر حقیقی مثبت ، دستگاه به عنوان خروجی عدد 1 را به ما می دهد . به ازای ورودی صفر ، دستگاه خود عدد صفر را به عنوان خروجی تحویل ما می دهد . و به ازای ورودی های حقیقی منفی به دستگاه عدد 1- به عنوان خروجی از دستگاه خارج می شود . و اما نمودار تابع : در ادامه برای آن که تعیین دامنه و برد توابع آسانتر انجام گیرد آن ها را به ده دسته ی اساسی تقسیم کرده و روش ها و تکنیک های تعیین دامنه و برد هر دسته را با ذکر چند مثال نشان می دهیم . 1- تعیین دامنه و برد توابع چند جمله ای 2- تعیین دامنه و برد توابع کسری ( غیر اصم ) 3- تعیین دامنه و برد توابع اصم ( گنگ ) 4- تعیین دامنه و برد توابع شامل جزء صحیح 5- تعیین دامنه و برد توابع شامل قدر مطلق 6- تعیین دامنه و برد توابع نمایی 7- تعیین دامنه و برد توابع لگاریتمی 8- تعیین دامنه و برد توابع مثلثاتی 9- تعیین دامنه و برد توابع معکوس ( وارون ) 10- تعیین دامنه و برد توابع مرکب و پس از بررسی موارد فوق خواهیم آموخت تا برد برخی توابع را توسط برخی نامساوی ها تعیین کنیم و سرانجام خواهیم آموخت که تعیین برد توابع از طریق " مشتق " امکان پذیر است و می توان یکنوایی و ماکزیمم و می نیمم را در توابع بررسی نمود . بررسی و آموزش هر یک از موارد فوق به مرور انجام خواهد گرفت که البته در بسیاری از موارد قبل از شروع مستقیم آموزش نیاز به پیش نیازهایی برای تسلط به آن بخش است که طبق نیاز ارائه خواهد شد به طور مثال پیش از آن که به تعیین دامنه و برد انواع توابع مذکور در بالا بپردازیم می بایست با خود این توابع آشنا شویم و خواص هر یک از آن ها را بررسی کنیم . منبع :انجمن ریاضی
