مفهوم حد(یا همان limit)در ریاضیات

حد

حد در ریاضیات مفهومی است برای بیان رفتار تابع در نزدیکی یک نقطه هنگامی که متغیر تابع به آن نقطه میل می‌کند.

تعریف

عبارت:

$\lim_{x \to c}f(x) = L$

به این معنی است که، برای هر $\varepsilon\ >0$ یک $\delta\ >0$ وجود دارد، که برای هر $x$ با خاصیت $|x-c|< \delta\$ ، آنگاه داریم: $|f (x)-L|< \varepsilon$ .

حد تابع

فرض کنید f(x)‎ تابعی حقیقی و c عددی حقیقی باشد. عبارت

$\lim_{x \to c}f(x) = L$

بدین معناست که f(x)‎ به ازای xهای نزدیک به c به L میل می‌کند. توجه داشته باشید که این عبارت می‌تواند صحیح باشد حتی اگر $f(c) \neq L$ باشد. دو مثال زیر مساله را روشن‌تر بیان می‌کند. $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ است و به x مقدار ۲ را می‌دهیم. در این مثال x در ۲ تعریف شده و مقدار تابع در آن برابر حدش ۰٫۴ است:

f(1.9)	f(1.99)	f(1.999)	f(2)	f(2.001)	f(2.01)	f(2.1)
0.4121	0.4012	0.4001	$\Rightarrow$ 0.4 $\Leftarrow$	0.3998	0.3988	0.3882

اگر به x مقدار ۲ را بدهیم f(x)‎ برابر ۰٫۴ خواهد شد و داریم $\lim_{x\to 2}f(x)=0.4$ . در این مثال $f(c) = \lim_{x\to c} f(x)$ است اما این عبارت همواره صحیح نیست، برای مثال: